CONDIZIONI DI RACCORDO DEI CAMPI ELETTROMAGNETICI ˆ = SULL INTERFACCIA TRA DUE MEZZI OMOGENEI

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1 CONDIZIONI DI RACCORDO DEI CAMPI ELETTROMAGNETICI SULL INTERFACCIA TRA DUE MEZZI OMOGENEI Conideriamo le equazioni di Maxwell in una regione di pazio riempita da un mezzo omogeneo e iotropo caratterizzato da una cotante dielettrica aoluta e da una permeabilità magnetica aoluta µ (eventualmente tale mezzo può eere il vuoto con 0 µ 0 ): ) D nˆ q ˆ ) n 0 3) dφ( ) E d 4) dφ( D ) H d i. Nella loro forma differenziale le equazioni (-4) diventano: 5) D ρ 6) 0 d 7) E dd 8) H j. Tali equazioni inieme alle relazioni cotitutive del mezzo: 9) D E 0) H 7/07/009 A cura di Aleandro elardini Pagina di 8

2 permettono di ricavare i campi E D H in tutta la regione di pazio una volta che i conocano le cariche libere q (o la denità di carica libera ρ) e la corrente imprea i (o la denità di corrente imprea j) e le opportune condizioni al contorno ed iniziali. Se la regione di pazio è invece riempita da due (o più) mezzi omogenei e iotropi (mezzo e mezzo ) con cotanti dielettriche ripettivamente e permeabilità magnetiche µ µ il problema analitico andrà riolto eparatamente in ogni mezzo omogeneo uando per eempio le equazioni (5-0) con i propri valori di e µ poi i dovranno imporre delle condizioni di raccordo ai campi E E D D H H in proimità dell interfaccia di eparazione tra il mezzo ed il mezzo. Per trovare le condizioni di raccordo uiamo le equazioni di Maxwell (-4) che critte in queta forma non preentano una dipendenza eplicita dal mezzo coniderato. Ueremo le equazioni (-4) in un opportuno intorno di un punto P ulla uperficie di eparazione tra il mezzo ed il mezzo (vedi figura ). Mezzo dh P dh n Mezzo dh n (a) n n dh dh dh n t P (b) d d d Mezzo Mezzo Figura 7/07/009 A cura di Aleandro elardini Pagina di 8

3 Nello pecifico applicheremo le eq. (-) ad un intorno cilindrico del punto P (vedi figura a) tale intorno arà celto ufficientemente piccolo in modo da poter penare alla uperficie di interezione tra l intorno cilindrico e la uperficie come e foe una uperficie piana. Le uperfici di bae e del cilindro aranno pree parallele alla uperficie e ad ea congruenti. L altezza del cilindro dhdh dh arà celta molto più piccola delle dimenioni lineari di riultando quindi eere un infiniteimo di ordine uperiore. Per quanto riguarda le eq. (3-4) ee verranno applicate ad un intorno rettangolare di P (vedi figura b). Tale intorno avrà i lati maggiori dl e dl ufficientemente piccoli in modo da poter coniderare la linea dl appartenente a e contenuta nel piano definito dall intorno rettangolare come e foe una linea retta. I lati dl e dl aranno prei quindi paralleli e congruenti a dl mentre i lati minori del rettangolo lunghi dhdh dh aranno prei molto più piccoli dei corripettivi lati maggiori in modo da riultare eere un infiniteimo di ordine uperiore. Per comodità prenderemo i campi orientati come in figura con le componenti normali orientate econdo il verore normale ucente dal mezzo ed entrante nel mezzo (n ) e le componenti tangenziali concordi tra loro (è poibile prendere altre orientazioni in queto cao i egni in alcune delle formule che eguono potrebbero eere diveri). Mezzo A A n Mezzo P A t n A t A n A A i {E i D i i H i } con i Figura 7/07/009 A cura di Aleandro elardini Pagina 3 di 8

4 Ora conideriamo l eq. () ci dice che il fluo di D ucente dal cilindro di figura a è pari alla carica q al uo interno. Tale fluo è la omma del fluo ucente dalle uperfici e dalla uperficie laterale del cilindro. Eendo le uperfici e piccole poiamo penare che il campo D non vari apprezzabilmente u tali uperfici per cui poiamo crivere: ) Φ( D) D nˆ D nˆ D n D D Φ q. ˆ lat lat Eendo la uperficie laterale molto più piccola (è un infiniteimo di ordine uperiore) il fluo di D attravero tale uperficie può eere tracurato ripetto al fluo ulle uperfici di bae del cilindro (a meno che le componenti tangenziali di D divergano all infinito) per cui la () diventa: ) Φ( D ) Dn Dn q ρdτ. τ dh Eendo l integrale a econdo membro calcolato ul volume racchiuo dal cilindro dτdh riulta un infiniteimo di ordine uperiore ripetto ai flui coniderati precedentemente quindi la carica q potrà eere tracurata e la denità di carica ρ non va all infinito. In queto cao la () diventa: 3) Φ D) D D 0 ( n n ed eendo i ottiene 4) D n Dn che rappreenta la condizione di raccordo tra le componenti normali di D all interfaccia tra due dielettrici. Eventualmente nei cai di materiali conduttivi in cui nello trato uperficiale la denità di carica diverge è poibile eprimere la carica q come q σ. In queto cao la () diventa: 5) Φ( D ) D D q σ n n ed eendo i ottiene: 6) D D σ n n Che rappreenta la condizione di raccordo tra le componenti normali di D all interfaccia tra due mezzi quando è preente una denità di carica uperficiale σ. La (6) i riduce alla (4) qualora riultae σ0. n n lat 7/07/009 A cura di Aleandro elardini Pagina 4 di 8

5 Uando la (9) nella (6) i ottiene la condizione di raccordo tra le componenti normali di E all interfaccia tra due mezzi: 7) E E σ. n n Eeguendo ragionamenti imili applicati all eq. () per il campo i ottiene: 8) n n e coniderando la (0) i ottiene per H: 9) µ H n H n. La (8) e la (9) ono le condizioni di raccordo tra le componenti normali di ed H all interfaccia tra due mezzi. Applicando la formula (3) al rettangolo di figura b e coniderando che il vettore E non vari enibilmente lungo i lati dl e dl del rettangolo eendo piccoli i ottiene: 0) E d dl E E dl t dl E dl t E dl dl dh dh E dl E dl dh dh E dl dφ( ) E dl Ora l integrale di linea u i lati dh e dh lunghi dh poono eere tracurati ripetto agli integrali lungo i lati più lunghi dl e dl (a meno che il campo E non diverga all infinito) pertanto la (0) diventa: dφ( ) ) E dl E dl. t t In tale equazione il fluo di va calcolato u una uperficie che è un infiniteimo di ordine uperiore ripetto alle grandezze geometriche dl e dl eendo dh<<dl dl per cui il fluo di può eere tracurato (a meno che il campo non diverga all infinito). La () quindi diventa: ) Et dl Et dl 0 ed eendo dl dl i ha che: E E 3) t t che rappreenta la condizione di raccordo per le componenti tangenziali del campo E all interfaccia tra due mezzi. Uando la (9) nella (3) i ottiene:. 7/07/009 A cura di Aleandro elardini Pagina 5 di 8

6 4) D t D t che rappreenta la condizione di raccordo per le componenti tangenziali del campo D all interfaccia tra due mezzi. Con ragionamenti imili applicati all eq.(4) i ottiene: 5) H d dl H H dl t dl H t dl H dl dl dh H dl dφ( D) 0 0 i i 0 i dh H dl dldh j nˆ dove abbiamo tracurato gli integrali di linea lungo i lati corti (lunghi dh) e dove abbiamo tracurato il fluo di D per gli tei motivi viti precedentemente. La corrente concatenata alla linea chiua formata da dl dl e i due dh può eere critta come il fluo di j attravero la uperficie infiniteima dldh orientata econdo la normale n t che egue la legge della mano detra (il pedice t ci ricorda che tale normale riulta tangente alla uperficie di eparazione tra i due mezzi). Dato che dh<<dl tale fluo può eere coniderato un infiniteimo di ordine uperiore ripetto agli integrali di linea nel primo membro di (5) (a meno di denità di correnti infinite poibili ulle uperfici dei conduttori perfetti). In queto cao la (5) diventa 6) H t dl H tdl ed eendo dl dl i ha: 7) H t H t che rappreenta la condizione di raccordo tra le componenti tangenziali di H all interfaccia tra due mezzi non perfettamente conduttivi. Eventualmente nei cai di materiali perfettamente conduttivi in cui nello trato uperficiale la denità di corrente può divergere è poibile eprimere la corrente i t come i j nˆ j dl in cui con j nt indichiamo la denità di corrente uperficiale lungo la dldh t nt direzione n t tangente alla uperficie ma perpendicolare alle componenti tangenti dei campi H e H. In queto cao la (5) diventa: 8) H t dl H t dl j nˆ t j ntdl che eendo dl dl dl riulta: 9) H t H t j nt. dldh 7/07/009 A cura di Aleandro elardini Pagina 6 di 8

7 Tale equazione rappreenta la condizione di raccordo tra le componenti tangenziali di H all interfaccia tra due mezzi perfettamente conduttivi. La (9) i riduce alla (7) nel cao in cui riultae j nt 0. Uando la (0) nella (9) i ottiene i ottiene la condizione di raccordo tra le componenti tangenziali di all interfaccia tra due mezzi (eventualmente perfettamente conduttivi): t t 30) nt. µ j Riaumendo i ha: Componenti normali I. D D σ II. n n E E σ n n III. n n IV. µ H n H n E E V. t t VI. VII. D Componenti tangenziali t D t H t H t j nt VIII. µ t t j nt Che nel cao in cui riultano q0 (σ0) e i0 (j nt 0) i riducono a: Componenti normali IX. D n Dn X. En En XI. n n XII. µ H n H n E E XIII. t t XIV. D Componenti tangenziali t D t H H XV. t t XVI. t t µ µ 7/07/009 A cura di Aleandro elardini Pagina 7 di 8

8 NOTA Nel ricavare i campi elettromagnetici in una regione di pazio (uando le formule -0) abbiamo uppoto che la denità di carica elettrica ρ (o la relativa carica elettrica q) e la denità di corrente j (o la relativa corrente i) foero note a priori eendo per noi le caue immediate dei campi elettromagnetici. In alcuni problemi può capitare che tali grandezze iano in tutto od in parte incognite del problema e dipendano quindi dai campi elettromagnetici che biogna calcolare. In tal cao biogna coniderare per il mezzo in quetione l equazione cotitutiva j σ E in aggiunta alle (9-0) in cui σ cond è la conducibilità del mezzo. La denità di corrente deve poi ripettare l equazione di continuità ρ j che è una coneguenza diretta delle eq. (58). Tale equazione di continuità e applicata ad un intorno t cilindrico del punto P con ragionamenti imili a quanto vito opra permette di ottenere le condizioni di raccordo per le componenti normali di j: σ jn jn j dove t n n cond è l operatore nabla travero e la j è la denità uperficiale di corrente parallela alla uperficie di eparazione. Quete coniderazioni eulano dal programma normalmente volto da un coro di Fiica Generale e ono in genere affrontate in cori ucceivi più approfonditi (per eempio il coro di Campi Elettromagnetici). Ai libri di teto di tali cori rimandiamo il lettore che avee intenzione di approfondire gli argomenti in quetione. 7/07/009 A cura di Aleandro elardini Pagina 8 di 8